Generalized Structured Component Analysis (GSCA)

La méthode GSCA est une méthode d'équations structurelles à variables latentes basée sur les composantes. Elle est proche de l'approche PLS.

Cette méthode introduite par Hwang et Takane (2005) permet d'optimiser une fonction globale en utilisant un algorithme de moindres carrés alternés (ALS).

GSCA se trouve dans la tradition de l'analyse en composantes. Il remplace les facteurs par des composantes comme dans l'approche PLS. Néanmoins, GSCA propose un critère d'optimisation global, qui est minimisé afin d'obtenir les paramètres du modèle. Cette méthode a donc un indice global de qualité d'ajustement tout en gardant tous les avantages de l'approche PLS.

Soit Z une matrice N par J des variables observées. On suppose que Z est centrée et réduite. Donc le model GSCA peut s'écrire :

ZV = ZWA + E,

         P = GA + E,    (1)

avec P = ZV, et G = ZW. Dans (1), P est une matrice N par T des variables observées endogènes et des variables composites, G est une matriceN par D des variables exogènes observées et des variables composites. V est une matrice J par T des poids associés aux variables endogènes, W est une matrice J par D des poids des variables exogènes, A est une super-matrice D par T composée des matrices des loadings reliant les composantes aux variables observées, notée C, associée à la matrice des coefficients structurels, notée B, on a, A = [C, B], et E est une matrice de résidus.

On estime les inconnues V,W, et A de manière à ce que la somme des carrés des résidus, E = ZV - ZWA = P- GA, soit aussi petite que possible. Ceci revient à minimiser :

f = SS(ZV - ZWA)

                  = SS(P- GA),                (2)

Par rapport à V, W, and A, où SS(X) = trace(X'X). Les composantes dans P et/ou G doivent être normalisées pour des problèmes d'identification.

On ne peut pas résoudre de manière analytique cette équation. On utilise donc un algorithme de moindres carrés alternés (ALS) (de Leeuw, Young, & Takane, 1976) afin de minimiser (2). En général, l'algorithme ALS peut être vu comme un cas spécial d'algorithme du point fixe (FP) dans lequel le point fixe est un point stationnaire d'une fonction à optimiser.

L'algorithme proposé se sépare en deux étapes : Dans la première étape, A est mis à jour pour V et W fixés. Dans une seconde étape, V et W sont mis à jour pour un A fixé. (Hwang and Takane, 2004)