Analyse de système de mesure pour les variables quantitatives

Qu’est-ce que l'analyse de système de mesure ou « Gage Repeatability and Reproducibility » ?

L'analyse de système de mesure (Measurement System Analysis ou MSA en anglais) aussi désignée par Gage R&R (Gage Repeatability and Reproducibility) est une méthodologie qui permet de contrôler et de valider un processus de mesure. Elle permet notamment d'identifier quelles sont les sources responsables de la variabilité des mesures effectuées : la variabilité peut être due au système de mesure, à l'opérateur effectuant la mesure ou aux objets mesurés. La méthodologie Gage R&R appliquée aux mesures quantitatives s'appuie sur deux outils communs de l'analyse statistique : l'ANOVA les cartes de contrôle R.

Le mot "gage" (signifiant jauge) fait référence au fait que la méthodologie a été développée pour valider des instruments de mesure.

Une mesure est "répétable" si les mesures obtenues par un opérateur donné pour un même objet (produit, unité, pièce ou échantillon, en fonction du domaine d'application) à plusieurs reprises, ne varient pas au-delà d'un seuil donné. Si la répétabilité d'un système de mesure n'est pas satisfaisante, il convient de s'interroger sur la qualité du système de mesure, ou de former les opérateurs qui n'obtiennent pas de résultats stables.

Une mesure est "reproductible" si les mesures obtenues pour un objet donné (produit, unité, pièce ou échantillon, en fonction du domaine d'application) par plusieurs opérateurs ne varient pas au-delà d'un seuil donné. Si la reproductibilité d'un système de mesure n'est pas satisfaisante, il faut former les opérateurs de telle sorte que leurs résultats sont plus homogènes.

L'objectif d'une analyse Gage R&R est d'identifier les sources de variabilité et de prendre les mesures nécessaires pour les réduire si nécessaire.

L'analyse de système de mesure des données quantitatives dans XLSTAT

Lorsque les mesures sont des données quantitatives, deux méthodes sont disponibles pour l'analyse Gage R&R. La première est basée sur l'analyse de variance (ANOVA) et la seconde sur les cartes de contrôle R (amplitude et moyenne).

Dans les descriptions ci-dessous, σ² repeatability désigne la variance liée à la répétabilité. Plus elle est faible, plus la mesure est répétable (les opérateurs donnent chacun des résultats cohérents pour une même pièce). Le calcul de cette variance est différent en fonction de la méthode choisie (ANOVA ou carte de contrôle R). σ² reproducibility désigne la part de la variance correspondant à la reproductibilité. Plus elle est faible, plus la mesure est reproductible (les divers opérateurs donnent des résultats concordants pour une même pièce). Le calcul de cette variance dépend aussi de la méthode choisie (ANOVA ou carte de contrôle R)

σ²R&R est la variance du gage R&R. Elle est toujours la somme des deux variances précédentes : σ²R&R = σ²reproducibility + σ²repeatability.

ANOVA pour l'analyse de système de mesure des données quantitatives

Lorsque le modèle ANOVA est utilisé dans l'analyse R&R, on peut tester statistiquement si la variabilité des mesures est liée aux opérateurs et/ou aux pièces elles-mêmes et/ou à une interaction entre les deux (certains opérateurs pourraient donner pour certaines pièces des mesures sensiblement supérieures ou inférieures). Deux plans expérimentaux sont disponibles pour une analyse Gage R&R : le plan croisé (équilibré) et le plan imbriqué. 

Plan croisé

Une ANOVA équilibrée à deux facteurs (Opérateur et Pièce) est effectuée. On peut choisir le modèle réduit comprenant uniquement les effets principaux, ou le modèle complet qui inclut l'interaction (Pièce*Opérateur). Pour une ANOVA croisée, les données doivent correspondre aux exigences d'un plan équilibré. Cela signifie que chaque pièce doit avoir été mesurée par chacun des opérateurs un même nombre de fois. Pour le modèle complet, les statistiques de Fisher F sont calculées comme suit : Foperator = MSEoperator / MSEpart*operator avec MSE désignant la moyenne des carrés des erreurs. Si la p-Value associée à l'interaction Operator*Part est plus grande ou égale à une valeur seuil fixée par l'utilisateur (typiquement 25 %), le terme d'interaction est supprimé du modèle et le modèle réduit est alors recalculé.

Dans le cas d'un modèle croisé avec interaction, les variances sont définies comme suit : σ² = MSEerrorσpart*operator² = (MSEpart*operator - MSEerror) /nRep σOperator² = (MSEOperator - MSEpart*operator) / (nPart * nRep) σPart² = (MSEPart - MSEpart*operator) / (nOperator * nRep) σRepeatability² = σ² σReproducibility² = σOperator² + σpart*operator² σR&R² = σReproducibility² + σRepeatability²

avec MSE désignant la moyenne des carrés des erreurs, nRep le nombre de répétitions, nPart le nombre de pièces et nOperator le nombre d'opérateurs.

Plan imbriqué

Dans ce cas une ANOVA à deux facteurs imbriqués est calculée avec les facteurs Operateur et Pièce(Opérateur).

Les conditions suivantes sont requises : la fréquence d'occurrence doit être la même pour toutes les catégories, et chaque pièce ne doit être inspectée que par un seul opérateur. Les statistiques F sont calculées comme suit : Foperator = MSEoperator / MSEpart(operator) Fpart(operator) = MSEpart(operator) / MSEerror

où MSE correspond à la moyenne des carrés des erreurs. σ² = MSEerrorσRepeatability² = σ² σReproducibility² = σOperator² + σpart(operator)² / (nPart*nRep) σR&R² = σReproducibility² + σRepeatability²

où nRep est le nombre de répétitions, nPart est le nombre de pièces, et nOperator est le nombre d'opérateurs.

R charts

L'analyse Gage R&R fondée sur les cartes de contrôle R, bien que moins puissante que celle s'appuyant sur l'ANOVA, présente l'avantage d'être plus simple à calculer et produit des cartes de contrôle (cartes R). Comme l'analyse de la variance, cette méthode permet de calculer la répétabilité et la reproductibilité du système de mesure. Pour utiliser cette méthode, vous avez besoin d'avoir plusieurs pièces, des opérateurs et des répétitions (typiquement 10 pièces, 3 opérateurs et 2 répétitions). Pendant le calcul de la répétabilité, la moyenne de l'amplitude de la carte R est utilisée. La variabilité des pièces et la reproductibilité sont fondées sur les valeurs moyennes de la carte X-bar.

Indicateurs

XLSTAT propose divers indicateurs construits à partir des variances pour décrire le système de mesure.

• La variation de l'étude (Study variation en anglais) pour les différentes sources est calculée comme le produit de l'écart-type correspondant par le facteur k Sigma: Variation de l'étude = k*σ
• La tolérance exprimée en pourcentage est définie comme le rapport de la variation de l'étude et la tolérance définie par l'utilisateur : % tolérance = Variation de l'étude / tolérance
• Le sigma du processus exprimé en pourcentage est défini comme le rapport de l'écart-type de la source et du sigma historique du processus : % processus = écart-type de la source / sigma processus
• Rapport Précision sur Tolérance ratio (P/T): P / T = k* σR&R² / tolerance
• Rho P (Rho Pièce): ρpart = σpart² / σ²
• Rho M: ρM = σR&R² / σ²
• Rho M:
• Rapport signal bruit (Signal to Noise Ratio SNR) : SNR = [2 ρpart / (1- ρpart)]1/2
• Rapport de discrimination (Discrimination Ratio DR) : DR = (1 + ρpart) / (1 - ρpart)
• Biais : Biais = µmeasurements - cible
• Biais en pourcentage : Biais % = (µmeasurements -cible) / tolérance
• Résolution : Résolution = Biais + 3*σR&R²