Beschränkte Logit

Die beschränkte logistische Regression ist Teil des Moduls XLSTAT-Conjoint. Die beschränkte logistische Regression ist eine Methode die überwiegend in seiner fortentwickelten Form im Rahmen der Conjoint-Analyse verwendet wird. Sie ist nichtsdestotrotz von Nutzen bei der Analyse bestimmter Datentypen.

McFadden (1973) führte dieses Modell ein. Anstatt eine Zeile pro Individuum vorliegen zu haben, liegt eine Zeile pro möglicher Auswahl vor. So werden nicht mehr die verschiedenen Charakteristiken der Individuen modelliert, sondern die verschiedenen Alternativen. So sucht man beispielsweise die Transportgewohnheiten zu untersuchen mit den folgenden vier Transportmitteln: (Auto / Zug / Flugzeug / Fahrrad). Jedes dieser Transportmittel hat Charakteristiken (Preis, Umweltkosten, …). Jedoch wird ein Individuum nur eines der vier Transportmittel auswählen.

Im Rahmen eines beschränkten logit Modells, hat man für N Individuen N*4 Zeilen mit 4 Zeilen pro Individuum, die jedem der Transportmittel zugeordnet werden. Die binäre Antwortvariable zeigt die Auswahl des Individuums an (1) und 0, falls das Individuum diese Option nicht ausgewählt hat. Man muss ebenfalls eine Spalte dem Namen der Individuen zuordnen (mit 4 Zeilen pro Individuum für das Beispiel der Transportmittel). Die erklärenden Variablen müssen ebenfalls N*4 Zeilen aufweisen.

Das Modell

Die beschränkte logistische Regression basiert auf einem ähnlichen Modell wie dem der logistischen Regression. Der Unterschied liegt darin, dass alle Individuen in verschiedene Situationen gebracht werden, bevor sie ihre Auswahl treffen (in Form einer binären Variable, die die abhängige Variable darstellt). Die Kenntnis der Tatsache, dass die gleichen Individuen geantwortet haben, bringt zusätzliche Information in das beschränkte logistische Regressionsmodell, die berücksichtigt werden kann (NB: die Beobachtungen sind nicht unabhängig voneinander innerhalb desselben Blocks, der aus allen Beobachtungen des gleichen Individuums besteht). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum i das Produkt j auswählt ist gegeben als: P_ij = e^βTz_ij / Σ_ke^βTz_ik

Ausgehend von dieser Wahrscheinlichkeit, kann man eine Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen: l(β) = Σ_i=1..nΣ_j=1..J y_ij log(P_ij)

Mit der binären Variable y, die die Auswahl des Individuums i für das Produkt j und J der Anzahl der Auswahlen, die jedem Individuum präsentiert werden. Um die Parameter β des Modells zu schätzen (die Koeffizienten der Linearfunktion), sucht man die Wahrscheinlichkeitsfunktion zu maximieren. Im Gegensatz zur linearen Regression, gibt es keine exakte, analytische Lösung. Es ist daher notwendig, einen iterativen Algorithmus einzusetzen. XLSTAT benutzt einen Algorithmus von Newton-Raphson.