Régression non-linéaire

Quand utiliser la régression non linéaire

La régression non linéaire permet de modéliser des phénomènes complexes n'entrant pas dans le cadre du modèle linéaire. XLSTAT propose des fonctions préprogrammées parmi lesquelles l'utilisateur pourra éventuellement trouver le modèle décrivant le phénomène à modéliser. 

Options de la régression non linéaire dans XLSTAT

Ajouter une fonction à la librairie des fonctions définies par l'utilisateur

Lorsque le modèle recherché n'est pas disponible, l'utilisateur a la possibilité de définir un nouveau modèle et de l'ajouter à sa librairie personnelle. Pour améliorer la vitesse et la fiabilité des calculs, il est recommandé d'ajouter les dérivées de la fonction par rapport à chacun des paramètres du modèle.

Lorsque cela est possible (fonctions préprogrammées, ou fonctions dont les dérivées premières ont été entrées par l'utilisateur) l'algorithme de Levenberg-Marquardt est utilisé pour estimer les paramètres du modèle sélectionné. Dans le cas où les dérivées ne sont pas disponibles un algorithme plus complexe mais efficace est utilisé.

Les fonctions ajoutées à la librairie doivent suivre la syntaxe suivante :

• Les paramètres doivent être représentés sous la forme pr1, pr2, …
• Les variables explicatives doivent être représentés sous la forme X1, X2, …
• Les fonctions Excel peuvent être utilisées : Exp(), Sin(), Pi(), Max()…
• Exemple de fonction : pr1 * Exp( pr2 + pr3 * X1 + pr4 * X2 )​

Sélection du modèle

Trois possibilités sont proposés dans l'onglet Fonctions :

• Choisir un modèle : ajuster aux données une seule fonction et afficher ses résultats.
• Choisir un modèle parmi plusieurs : ajuster aux données plusieurs fonctions et afficher les résultats du meilleur modèle, en se basant sur l'AIC.
• Choisir plusieurs modèles : ajuster aux données plusieurs fonctions et afficher leurs résultats.

Ajustement global et paramètres partagés

XLSTAT offre la possibilité d’ajuster plusieurs variables en même temps. Pour cela, deux options au choix sont disponibles :

• La première dans le cas où il y a une colonne pour chaque variable Y à ajuster.
• La seconde dans le cas où il y a une colonne contenant l’ensemble des variables Y à ajuster ainsi qu’une colonne d’indices de groupe permettant d’identifier chaque Y. Avec cette option, il y a la possibilité de choisir un ensemble de paramètres partagés s’appliquant à un ensemble de courbes.

Résultats de la régression non linéaire dans XLSTAT

Coefficients d'ajustement : dans ce tableau sont affichées les statistiques suivantes :

• le nombre d'observations ;
• le nombre de degrés de liberté (DDL) ;
• le coefficient de détermination R² ;
• la somme des carrés des erreurs (ou résidus) du modèle (SCE) ;
• la moyenne des carrés des erreurs (ou résidus) du modèle (MCE) ;
• la racine de la moyenne des carrés des erreurs (ou résidus) du modèle (RMCE) ;

Paramètres du modèle : ce tableau donne pour chaque paramètre sa valeur après ajustement du modèle. Dans le cas des fonctions préprogrammées, ou des fonctions définies par l'utilisateur lorsque les dérivées par rapport aux paramètres ont été entrées, les écarts-types des estimateurs sont calculés.

Prédictions et résidus : ce tableau donne pour chaque observation les données de départ, la valeur prédite par le modèle et les résidus.

Graphiques de la régression non linéaire dans XLSTAT

Si une seule variable quantitative explicative a été sélectionnée le premier graphique représente les données et la courbe correspondant à la fonction choisie. Le second graphique affiché est le diagramme en bâtons des résidus.