Ajustement d'une loi de probabilité

Principe de l’ajustement d’une loi de distribution

L'ajustement d'une loi de distribution à un échantillon de données consiste, une fois le type de loi choisi, à estimer les paramètres de la loi de telle sorte que l'échantillon soit le plus vraisemblable possible (au sens du maximum de vraisemblance) ou qu'au moins certaines statistiques de l'échantillon (moyenne, variance par exemple) correspondent le mieux possible à celles de la loi.

Méthodes d’ajustement à une loi de probabilité dans XLSTAT

Deux méthodes d'ajustement sont proposées par XLSTAT :

• Moments Cette méthode simple utilise la définition des moments de la loi en fonction des paramètres afin de déterminer ces derniers. Pour la plupart des lois, l'utilisation de la moyenne et de la variance est suffisante. Cependant, pour certaines lois la moyenne suffit (par exemple, la loi de Poisson), ou, au contraire, le coefficient d'asymétrie est aussi nécessaire (loi de Weibull par exemple).
• Vraisemblance les paramètres de la loi sont estimés en maximisant la vraisemblance de l'échantillon. Cette méthode, plus complexe, présente l'avantage d'être rigoureuse pour toutes les lois, et de permettre d'obtenir des écart-types approximatifs pour les estimateurs des paramètres. La méthode du maximum de vraisemblance est proposée pour la loi binomiale négative de type II, la loi de Fisher-Tippett, la loi GEV et la loi de Weibull.

Pour certaines lois, la méthode des moments donne exactement le même résultat que celle du maximum de vraisemblance. C'est notamment le cas pour la loi normale.

XLSTAT permet l'utilisation des lois suivantes :

• Arcsine
• Bernoulli
• Beta (2 options)
• Binomiale
• Binomial négative type I and II
• Chi-square
• Erlang
• Exponentielle
• Fisher
• Fisher-Tippett
• Gamma
• GEV (Generalized Extreme Values)
• Gumbel
• Logistique
• Lognormale (2 options)
• Normale
• Normale standard
• Pareto
• PERT
• Poisson
• Student
• Trapézoidale
• Triangulaire
• Uniforme et Uniforme discrète
• Weibull (3 options)

XLSTAT offre la possibilité de saisir directement les valeurs des paramètres de la loi de probabilité choisie, ou de les estimer automatiquement. Des tests d'ajustement sont effectués (Kolmogorov-Smirnov et Khi’²).

Résultats de l’ajustement à une loi de probabilité

• Paramètres estimés : dans ce tableau sont affichés les paramètres de la loi.
• Statistiques estimées à partir des données et calculées à partir des estimateurs des paramètres de la loi : ce tableau permet de comparer la moyenne, la variance, le coefficient d'asymétrie et le coefficient d'aplatissement calculés à partir de l'échantillon à ceux calculés à partir des valeurs des paramètres de la loi.
• Test de Kolmogorov-Smirnov.
• Test du khi².
• Comparaison entre les effectifs observés et théoriques.
• Histogramme et statistiques descriptives pour les intervalles : ces résultats permettent de visualiser les effectifs et les fréquences pour chaque intervalle, ainsi que les densités pour l'échantillon et la distribution choisie.