Analyse Factorielle Multiple (AFM)

Utilités de l'Analyse Factorielle Multiple

L'Analyse Factorielle Multiple (AFM), permet d'analyser simultanément plusieurs tableaux de variables, et d'obtenir des résultats, notamment des représentations graphiques, qui permettent d'étudier la relation entre les observations, les variables et les tableaux (Escofier et Pagès, 1984). A l'intérieur d'un tableau les variables doivent être de même nature (quantitative, qualitative ou fréquence), mais les tableaux peuvent être de différents types.

Cette méthode s'avère très utile pour analyser des enquêtes lorsque les questions peuvent être regroupées par thèmes, ou lorsque les mêmes questions sont posées à plusieurs intervalles de temps.

Principes de l'Analyse Factorielle Multiple

L'AFM est une synthèse de l'ACP (Analyse en Composantes Principales) pour les variables quantitatives, l'ACM (Analyse des Correspondances Multiples) pour les variables qualitatives et de l'AFC (Analyse Factorielle des Correspondances) pour un tableau de fréquences. La méthodologie de l'AFM se décompose en deux étapes :

​1. On réalise successivement pour chacun des tableaux une ACP, une ACM ou une AFC en fonction de la nature des variables. On conserve la valeur de la première valeur propre de chacune des analyses pour pondérer ensuite les différents tableaux dans la seconde partie de l'analyse.

2. On réalise ensuite une ACP pondérée sur les colonnes de l'ensemble des tableaux, sachant que les tableaux de variables qualitatives sont transformés en tableaux disjonctifs complets, chacune des indicatrices des tableaux disjonctifs ayant un poids fonction de la fréquence de la modalité concernée. La pondération des tableaux permet d'éviter que les tableaux comprenant plus de variables ne pèsent trop dans l'analyse.

L'originalité première de l'Analyse Factorielle Multiple vient de ce qu'elle permet une visualisation dans un espace à deux ou trois dimensions, des tableaux (chaque tableau étant représenté par un point), des variables (dans un cercle des corrélations), des facteurs principaux des analyses de la première phase, et des individus. Par ailleurs, on peut étudier l'impact des autres tableaux sur une observation en visualisant simultanément l'observation décrite par l'ensemble des variables, et par seulement chacun des tableaux. On parle alors de nuages partiels.

Options de l'Analyse Factorielle Multiple dans XLSTAT

Type de données : précisez quel est le type des données des différents tableaux, sachant que le type de données doit être identique à l'intérieur d'un sous-tableau. Dans le cas ou le type est mixte, pour indiquer à XLSTAT quel est le type des tableaux, vous devez alors sélectionner une plage indiquant le type des K tableaux. Utilisez 0 pour un tableau contenant des variables quantitatives, 1 pour un tableau contenant des variables qualitatives et 2 pour un tableau de fréquences.

Filtrer les facteurs  : vous pouvez activer l'une ou les deux options suivantes afin de réduire le nombre de facteurs pour lesquels les résultats sont affichés :

• % minimum : activez cette option puis saisissez le pourcentage minimum de la variabilité totale que doivent représenter les facteurs retenus.

• Nombre maximum : activez cette option pour fixer le nombre maximum de facteurs à prendre en compte.

Options des ACP : (uniquement pour les tableaux de variables quantitatives)

• Type d'ACP : choisissez le type d'ACP à réaliser sur les tableaux : corrélation (les données seront centrées et réduites) ou covariance (les données seront uniquement centrées).

Options des ACM : (uniquement pour les tableaux de variables qualitatives)

Tri alphabétique des modalités : activez cette option pour que dans les divers résultats, les modalités soient triées alphabétiquement pour chacune des variables.

Libellés Variable-Modalité  : activez cette option pour utiliser des libellés longs pour l'affichage des résultats. Les libellés Variable-Modalité sont composés du nom de la variable comme préfixe, et de la modalité comme suffixe.

Résultats de l'Analyse Factorielle Multiple

Statistiques descriptives : le tableau de statistiques descriptives présente pour toutes les variables sélectionnées des statistiques simples. Sont affichés, le nombre d'observations, le nombre de données manquantes, le nombre de données non manquantes, la moyenne, et l'écart-type (non biaisé).

Sont ensuite affichés pour chacun des tableaux, les analyses séparées, si vous avez choisi d'afficher les analyses séparées.

A la suite des résultats des analyses séparées sont affichés les résultats de seconde phase de l'AFM.

Dans un premier temps les valeurs propres, les résultats des variables et les résultats des observations sont affichés comme dans le cas de l'ACP. Ensuite les résultats spécifiques à l'AFM sont affichés :

Les coordonnées des tableaux sont affichées et utilisées pour créer les graphiques des tableaux. Ces derniers permettent notamment de visualiser la distance entre les tableaux. Les coordonnées des tableaux supplémentaires sont affichées dans la seconde partie du tableau. Ensuite, comme pour les variables et les observations sont affichés les contributions des tableaux actifs et les cosinus carrés des tableaux.

Coefficients Lg  : les coefficients Lg de liaison entre les tableaux permettent de mesurer à quel point les tableaux sont liés deux à deux. La liaison sera d'autant plus forte que l'ensemble des variables d'un tableau seront liées à celle du second.

Coefficients RV  : les coefficients RV de liaison entre les tableaux sont une autre mesure de la liaison entre les tableaux. Les coefficients RV dont la valeur est comprise entre 0 et 1, correspondent à une normalisation des coefficients Lg.

Les coordonnées des axes partiels et notamment leur corrélations permettent de visualiser dans le nouvel espace le lien entre les facteurs générés par les analyses de la première phase de l'AFM (analyse des tableaux pris séparément), et ceux de la seconde étape (analyse de tous les tableaux pondérés).

Les corrélations entre les axes partiels permettent de voir les liaisons entre les axes des différentes analyses séparées.

Enfin, les coordonnées des nuages partiels dans l'espace résultant de l'AFM sont affichées. Les nuages partiels correspondent aux projections des observations dans des espaces réduits aux dimensions de chacun des tableaux. La représentation des points des nuages partiels superposée avec celles des observations complètes permet de visualiser à la fois la diversité de l'information apportée par les différents tableaux pour une observation donnée, et de visualiser les distances relatives de deux observations en fonction des différents tableaux.